|
|
|
|
|
Методы решения
тригонометрических уравнений
1.
Решение
простейших тригонометрических уравнений
2.
Решение
тригонометрических уравнений разложением на множители
3.
Решение
тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям
4.
Решение
тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в
произведение
5.
Решение
тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических
функций в сумму
6.
Решение
тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
7.
Решение
тригонометрических уравнений как однородное
8.
Решение
тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
9.
Решение
тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
10.
Решение
тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
11.
Решение
тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения
(метод оценок)
12.
Решение
тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком
радикала
1.
Решение простейших тригонометрических уравнений
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.
Ответ:
2. Решение
тригонометрических уравнений разложением на множители
или
или 
решений
нет
Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.
Решением уравнения является:
Ответ:
3. Решение тригонометрических
уравнений
сводящихся к квадратным уравнениям
Пусть 
, тогда 
или 
Т.к.
при 
, то корней нет.
Ответ:
4. Решение
тригонометрических уравнений преобразованием
суммы тригонометрических функций в произведение
или 
Ответ: ;
5. Решение
тригонометрических уравнений преобразованием
произведения тригонометрических функций в сумму
а) Найдем область определения функции.
Областью определения данного уравнения является:
б) Решим данное уравнение.
Ответ: 
6. Решение
тригонометрических уравнений с
применением формул понижения степени
Пусть , тогда
или 
Т.к.
при , то корней нет.
Ответ:
7. Решение
тригонометрических уравнений как однородное
Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.
, где
- действительные числа. 
- показатель
однородности.
Если 
, то и 
, что противоречит основному тригонометрическому тождеству,
значит 
. Разделим обе части на 
, получим
Ответ:
8. Решение
тригонометрических уравнений с помощью
введения вспомогательного аргумента
Т. к. 
, то корни есть.
Разделим обе части уравнения на 
, получим
Т. к. 
и 
, то существует такой угол 
, что 
, а 
, тогда получим
Ответ:
Теория.
1) если 
, то уравнение однородное.
2) если 
и 
(то есть хотя бы одно из чисел 
или 
не равно 0), то
разделим обе части уравнения на 
, получим
Т. к. 
и 
, то существует такой угол , что 
, тогда
а) если, 
т. е. 
, то корней нет.
в) если, 
т. е. 
, тогда
Т. к. 
, то корней нет.
9. Решение
тригонометрических уравнений с помощью
универсальной тригонометрической подстановки
(1)
(2)
При переходе от уравнения (1) к
уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются
ли корни уравнения корнями данного
уравнения.
Проверка.
Если , тогда
- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.
Ответ:
10. Решение
тригонометрических уравнений
с помощью замены неизвестного
Уравнение вида 
решается следующей
заменой 
, 
, 
, 
Способ I
Пусть 
, 
, 
, 
, получим
или 
(3)
Разделим на 
, получим 
Т.
к. 
, при , то корней нет.
Ответ:
Теория.
, при
Доказательство:
Шесть способов решения уравнения (3).
1.
применение формулы 
.
2.
через 
.
3. привести к однородному уравнению второй степени.
4. способ введения вспомогательного аргумента.
5.
с помощью неравенства , при .
6. метод оценки левой и правой частей уравнения.
Способ II
или
Разделим на , получим
Т.
к. , при , то корней нет.
Ответ:
11. Решение
тригонометрических уравнений с помощью оценки
левой и правой частей уравнения (метод оценок)
12. Решение
тригонометрических уравнений содержащих
тригонометрические функции под знаком радикала
Пример №1
Решим уравнение 2.
или 
Отметим поученные решения и
условие 1 на тригонометрическом круге.
Ответ: ,
Пример №2
Решим уравнение 2.
Решим квадратное уравнение
относительно
.
и 
то корней нет.
Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.
Ответ: 
|
|
