Титул || Оглавленеие || Уравнения содержащие знак модуля || Уравнения высших степеней || Тригонометрические уравнения || Показательные уравнения || Показательно-степенные уравнения || Страничка автора ||

Методы решения уравнений высших степеней

 

1. Решение уравнений с помощью деления в столбик
2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся

·         Возвратные уравнения четной степени

·         Возвратные уравнения нечетной степени

3. Уравнения вида, где
4. Замена переменных по явным признакам
5. В следующих уравнениях используется “идея однородности”

·                Пример №1

·                Пример №2

·                Пример №3

6. Уравнения вида, где
7. В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся
8. В уравнениях вида
9. Выделение полного квадрата
10. Решение уравнений с помощью формулы
11. Уравнения вида  и к ним сводящиеся
12. Решение уравнений относительно коэффициентов
13. Метод разложения на простейшие дроби

 

I)                Решение уравнений с помощью деления в столбик

 

Очевидно  - корень уравнения

Очевидно  - корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

 

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

 

1)    Возвратные уравнения четной степени.

 

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                    ;

Вернемся к замене.

                  или                

                                  

                                 корней нет

Ответ:

 

2) Возвратные уравнения нечетной степени

 

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

            или    

                                   т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

            или                                           или                

                                                                        

                                                           

корней нет                                                                

Ответ: , ,

 

II)           Уравнения вида, где

 

решаются как возвратные.

 

 

IV) Замена переменных по явным признакам

 

 

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”

 

Пример №1

 

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                    или                

                                               корней нет

Ответ:

 

Пример №2

 

                               

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                                  или                            

                                                          

                                                       

корней нет                                                               ;

Ответ: ;

 

Пример №3

 

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                            

                                                         

;                                                            ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида, где

 

эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

 

VII) В уравнениях вида  

и в уравнениях к ним сводящимся

 

в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

                  (1)                              

             (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                            

                                                       

                                                                       

Ответ: ;

 

VIII) В уравнениях вида

 

 обе части уравнения делятся на

 - не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                                или                            

                                                                    

Ответ: ;

 

IX) Выделение полного квадрата

 

                            

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                               или                            

                                                       

                                                          корней нет

Ответ:

 

X) Решение уравнений с помощью формулы

 

                                   или                            

                                                                    корней нет

 

XI) Уравнения вида  и к ним сводящиеся

 

решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                                    или                             корней нет

;

Вернемся к замене.

                     или                

                                             

Ответ: ;

 

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов

 

                         

                               или                            

                                                            

                                                             

                                                                 

;                                           - посторонний корень

корней нет                                                   

                                                                                             

Ответ: ;

 

XIII) Метод разложения на простейшие дроби

 

                                                      

Ответ:

|| Титул || Оглавленеие || Уравнения содержащие знак модуля || Уравнения высших степеней || Тригонометрические уравнения || Показательные уравнения || Показательно-степенные уравнения || Страничка автора ||

© Gussnick corp.  2009 Н.В. Гусятников guss_nick@mail.ru